第234 落入山洞
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树
图论
共18个含义
树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实现这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。它是一种无向图(ued graph),其中任意两个顶点间存在唯一一条路径。树图广泛应用于计算机科学的数据结构中,比如二叉查找树、堆、Trie树以及数据压缩中的霍夫曼树等。
顶点
v
边
v - 1
色数
2
定义
如果一个无向简单图G 满足以下相互等价的条件之一,那么G 是一棵树:
G 是没有回路的连通图。
G 没有回路,但是在G内添加任意一条边,就会形成一个回路。
G 是连通的,但是如果去掉任意一条边,就不再连通。
G 是连通的,并且3顶点的完全图?不是G的子图。
G内的任意两个顶点能被唯一路径所连通。
如果无向简单图G有有限个顶点(设为n个顶点),那么G 是一棵树还等价于:
G是连通的,有n ? 1条边,并且G没有简单回路。
如果一个无向简单图G中没有简单回路,那么G是森林。
性质
一棵树中每两个点之间都有且只有一条路径(指没有重复边的路径)。一颗有N个点的树有N-1条边,也就是连接N个点所需要的最少边数。所以如果去掉树中的一条边,树就会不连通。
如果在一棵树中加入任意的一条边,就会得到有且只有一个环的图。这是因为这条边连接的两个点(或是一个点)中有且只有一条路径,这条路径和新加的边连在一起就是一个环。如果把一个连通图中的多余边全部删除,所构成的树叫做这个图的生成树。
如果要在树中加入一个点,就要加入一条这个点和原有的点相连的边。这条边不会给这棵树增加一个环或者多余的路径。所以每次这样加入一个点,就可以构成一棵树。
一棵树既可以是有向的也可以是无向的。显然,树是连通图,但不会是双连通图(对于无向图)或者强连通图(对于有向图)。树可以算是稀疏图。
显然树中也没有自环和重复边。
有根树
在一棵树中可以指定一个特殊的节点:根。一个有根的树叫做有根树。
有根树中的节点可以根据到根的距离分层。一颗有根树的层数叫做这棵树的高度。节点最多的那一层的节点数叫做这棵树的宽度。对于有根树,每条边都有一个特殊的方向:指向根节点的方向,或者说上一层的方向(或者相反的,指向叶节点的方向,下一层的方向)。一条边的两个端点中,靠近根的那个节点叫做另一个节点的父节点(也叫父亲、双亲、双亲节点),相反的,距离根比较远的那个节点叫做另一个节点的子节点(也可以叫孩子,儿子,子女等)。父亲方向的所有节点都叫做这个节点的祖先,儿子方向的所有节点都叫做这个节点的子孙。没有子节点的子节点叫做叶节点(或者叶子节点)。由于到根的路径只有一条,根节点以外的节点的父节点永远只有一个,祖先就是这个点到根的路径上的所有节点(包括根,不包括这个节点本身)。另外,以一个节点为根的树是指包括这个节点和其所有子孙,并以这个节点为根的树。由于一般不需要这以外的子树,每一个节点也可以对应到一个以其为根的树,一个节点的子树通常也是指以这个节点的子节点为根的树。
如果一颗有根树每个节点的子树最多有n个,同时每个节点在其父节点中都有固定的可能可以留空的位置,这棵树叫做n叉树。其中每个节点都可以有两个固定位置的子树的有根树叫做二叉树,二叉树中每个节点的两个子树分别叫做左子树和右子树,由于位置固定,没有左子树的时候也是可以有右子树的。而“多叉树”通常并不指n为任意值的n叉树,只是在和n叉树作比较的时候表示普通的有根树。
对于随机的树,高度的平均复杂度是O(logn),但是没有限制而且不随机的树高度也可以达到O(n),也就是除了叶节点都只有一个子树,或者常数个分支的情况。所以树作为数据结构时通常需要另外进行平衡。
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对于普通的树,可以像图一样为每一个点存储一个边表(通常按顺序存和每一个点的关系的叫做邻接矩阵,存具体的边的叫做邻接表),或者直接存储所有边的边表等。由于树是稀疏图,所以一般不用邻接矩阵存储。对于有根树,如果用为每一个点储存一个边表的方法,由于每一棵树都只有一个父节点,所以通常指向父节点的边不存在这个表中。同时如果子节点是没有顺序的,也是因为一个节点的子节点不会同时是其他节点的子节点,也可以把子节点直接当成存边的链表的节点,这时候每个节点只需要储存两个指针,所以这种存储方法有时候也会被叫做多叉树转二叉树。
对于子节点是有顺序的有根树,每条边都可以以固定的位置分别储存。对于完全二叉树甚至能直接用一个数组访问所有节点,不另外储存边的信息。有的树可以被设计成固定的从根节点开始访问,这时候可以不储存父节点。同样的,有的树也可以省略子节点,例如并查集。
对于一般的树,可以用和普通的图一样的方法遍历,比如深度优先搜索和宽度优先搜索。如果和树的每个节点相邻的点有固定的顺序,深度优先搜索可以不储存当前点以外的任何信息,而且不用判重。而在有根树中更方便,所以有根树中很少使用宽度优先搜索。
树
图论
共18个含义
树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实现这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。它是一种无向图(ued graph),其中任意两个顶点间存在唯一一条路径。树图广泛应用于计算机科学的数据结构中,比如二叉查找树、堆、Trie树以及数据压缩中的霍夫曼树等。
顶点
v
边
v - 1
色数
2
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如果一个无向简单图G 满足以下相互等价的条件之一,那么G 是一棵树:
G 是没有回路的连通图。
G 没有回路,但是在G内添加任意一条边,就会形成一个回路。
G 是连通的,但是如果去掉任意一条边,就不再连通。
G 是连通的,并且3顶点的完全图?不是G的子图。
G内的任意两个顶点能被唯一路径所连通。
如果无向简单图G有有限个顶点(设为n个顶点),那么G 是一棵树还等价于:
G是连通的,有n ? 1条边,并且G没有简单回路。
如果一个无向简单图G中没有简单回路,那么G是森林。
性质
一棵树中每两个点之间都有且只有一条路径(指没有重复边的路径)。一颗有N个点的树有N-1条边,也就是连接N个点所需要的最少边数。所以如果去掉树中的一条边,树就会不连通。
如果在一棵树中加入任意的一条边,就会得到有且只有一个环的图。这是因为这条边连接的两个点(或是一个点)中有且只有一条路径,这条路径和新加的边连在一起就是一个环。如果把一个连通图中的多余边全部删除,所构成的树叫做这个图的生成树。
如果要在树中加入一个点,就要加入一条这个点和原有的点相连的边。这条边不会给这棵树增加一个环或者多余的路径。所以每次这样加入一个点,就可以构成一棵树。
一棵树既可以是有向的也可以是无向的。显然,树是连通图,但不会是双连通图(对于无向图)或者强连通图(对于有向图)。树可以算是稀疏图。
显然树中也没有自环和重复边。
有根树
在一棵树中可以指定一个特殊的节点:根。一个有根的树叫做有根树。
有根树中的节点可以根据到根的距离分层。一颗有根树的层数叫做这棵树的高度。节点最多的那一层的节点数叫做这棵树的宽度。对于有根树,每条边都有一个特殊的方向:指向根节点的方向,或者说上一层的方向(或者相反的,指向叶节点的方向,下一层的方向)。一条边的两个端点中,靠近根的那个节点叫做另一个节点的父节点(也叫父亲、双亲、双亲节点),相反的,距离根比较远的那个节点叫做另一个节点的子节点(也可以叫孩子,儿子,子女等)。父亲方向的所有节点都叫做这个节点的祖先,儿子方向的所有节点都叫做这个节点的子孙。没有子节点的子节点叫做叶节点(或者叶子节点)。由于到根的路径只有一条,根节点以外的节点的父节点永远只有一个,祖先就是这个点到根的路径上的所有节点(包括根,不包括这个节点本身)。另外,以一个节点为根的树是指包括这个节点和其所有子孙,并以这个节点为根的树。由于一般不需要这以外的子树,每一个节点也可以对应到一个以其为根的树,一个节点的子树通常也是指以这个节点的子节点为根的树。
如果一颗有根树每个节点的子树最多有n个,同时每个节点在其父节点中都有固定的可能可以留空的位置,这棵树叫做n叉树。其中每个节点都可以有两个固定位置的子树的有根树叫做二叉树,二叉树中每个节点的两个子树分别叫做左子树和右子树,由于位置固定,没有左子树的时候也是可以有右子树的。而“多叉树”通常并不指n为任意值的n叉树,只是在和n叉树作比较的时候表示普通的有根树。
对于随机的树,高度的平均复杂度是O(logn),但是没有限制而且不随机的树高度也可以达到O(n),也就是除了叶节点都只有一个子树,或者常数个分支的情况。所以树作为数据结构时通常需要另外进行平衡。
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对于子节点是有顺序的有根树,每条边都可以以固定的位置分别储存。对于完全二叉树甚至能直接用一个数组访问所有节点,不另外储存边的信息。有的树可以被设计成固定的从根节点开始访问,这时候可以不储存父节点。同样的,有的树也可以省略子节点,例如并查集。
对于一般的树,可以用和普通的图一样的方法遍历,比如深度优先搜索和宽度优先搜索。如果和树的每个节点相邻的点有固定的顺序,深度优先搜索可以不储存当前点以外的任何信息,而且不用判重。而在有根树中更方便,所以有根树中很少使用宽度优先搜索。